Principe de moindre action

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ama, l'interprétation holistique de ce principe est une jolie illusion. Une inversion cause-effets. (Cette interprétation holistique est abandonnée depuis longtemps.)

Je partage le point de vue de Descartes (La nature et le PMA, Les cahiers de Science & Vie, avril 2002, page 32), comme quoi (grosso modo), qu'il s'agisse de lumière, de solides, etc, tout cela se promène (forcément) dans des champs de force, et à chaque instant infinitésimal, le trajet pendant cet instant résulte du bilan des forces exercées dans (et par) le champ.

Le fait, que, au final, la somme des optimums de trajets locaux soit un optimum global est un résultat, une conséquence observée (due entièrement à la nature "suffisamment continue/homogène/monotone" (*) des milieux considérés) et en rien un quelconque "principe" directeur (holistique) qui impose le trajet.

Il se trouve qu'on peut utiliser ce fait (heureux) comme moyen de calcul, pour calculer effectivement (et efficacement), les trajets réels. Mais le fait que cela soit utile calculatoirement, et même très utile (en simplifiant souvent les calculs) ne doit pas être confondu avec une quelconque précédence cause-effet.

Je pense que le PMA s'applique précisément à la (grande) classe de cas, milieux "continus" (ie où la nature du milieu varie de manière suffisamment homogène/continue/monotone) et où une somme d'optimums locaux constitue un optimum global. Le PMA est une propriété (simplification) des milieux "simples". C'est certes un résultat très intéressant, mais ce n'est rien de magique et, d'une certaine manière, on n'est pas étonné qu'un milieu "simple" présente ce type de propriété.

Dans ces cas, l'optimum global est une conséquence (intéressante et profitable) de la succession d'optimums locaux due à la nature favorable/continue du milieu considéré.

La remarque importante à faire, pour replacer le PMA en perspective est la suivante :
Dans un milieu discontinu, la somme de trajets optimaux locaux n'est plus forcément un optimum global (inverse du principe d'optimalité de Bellman) ... et le PMA ne s'applique (vraisemblablement) pas. (et on tombe directement du calculatoire "facile" dans les affres de la NP-complétude etc)

Les milieux discontinus existent dans la nature (eg paysages avec fort relief, falaises, etc). Si Dieu ou autre chose était cause du PMA ... il faudrait alors s'expliquer pourquoi il cesserait d'être économe/sage/etc dans ces milieux ?

(*) : optimal substructure


Expérience

Si on fabriquait un cube de un mètre de coté, constitué de mille cubes de verre de coté 10 cm, assemblés au hasard et d'indices de propagation très variables, je serais curieux de savoir si le trajet global d'un rayon lumineux serait encore un optimum global ? très probablement non, et très probablement cela dépendrait tout à fait des cubes disposés dans les premières couches.

Une telle expérience serait sans doute réalisable, plus facilement et plus visualisable, en 2 dimensions. Il doit être parfaitement possible, avec quelques pavés frontaux disposés en un labyrinthe adéquat, d'orienter un rayon lumineux entrant de manière à l'envoyer dans un chemin ultérieur arbitrairement long, eg en zig-zag, tout en ayant à coté un chemin direct ... mais qui ne sera pas emprunté.

Si ça se trouve, on peut même concevoir un tel dispositif de telle manière à ce que un rayon entrant du coté "piégeux" emprunte un trajet long, mais qu'un rayon entrant de l'autre coté, emprunte bien le trajet le plus court.


Notons que, si jamais un rayon lumineux parvenait quand même à réaliser un trajet optimal (à Dieu ne plaise) ... alors cela signifierait qu'on tiendrait une méthode pour résoudre des problèmes NP-complets.


Misc

Les points mis en relation se rebouclent bel et bien, citons par exemple la méthode Hamilton-Jacobi-Bellman : Classical variational problems, for example the brachistochrone problem, can be solved using this method. (https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton%E2%80%93Jacobi%E2%80%93Bellman_equation)

Principe d'optimalité de Bellman : optimum global = somme d'optimums locaux, "Un chemin optimal est composé de morceaux tous optimaux".

L'inverse du principe n'est pas vrai en général ... mais est probablement vrai souvent (dans les milieux avec optimal substructure).


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